CUARTA UNIDAD

18.1 Un tanque de 20 L contiene 0.225 Kg de helio a 18 ªC. La masa molar del helio es de 4 g/mol.

A) ¿Cuántos moles de helio hay en el tanque?

n=m/M=0.225Kg/0.004Kg/mol=56.25 mol

B) Calcule la presión en el tanque en Pa y atm.

p=nRT/V P=(56.25 mol)(0.08206 L*atm/mol*K)(291.15K)/20.0L

1 atm=101300N/M2,

por lo tantoP=6807360 Pa

18.3 Un tanque cilíndrico tiene un pistón ajustado que permite cambiar el volumen del tanque. El tanque contiene originalmente 0.110 m3 de aire a 3.40 atm de presión. Se tira lentamente del pistón hasta aumentar el volumen del aire a 0.390 m3. Si la temperatura no cambia, ¿qué valor final tiene la presión?

P2=P1(V1/V2), P2=3.40atm(0.110M3/0.390m3)=0.958atm aproximadamente 0.96atm

18.23 ¿Qué volumen tienen 3 moles de cobre?

V=m/p, m=NM

m=3 mol(0.06354Kg/mol)=0.1906 K

V=0.1906 Kg/8900Kg/M3=0.0000214 m3=21.4cm3

18.33 Tenemos dos cajas del mismo tamaño, A y B. Cada caja contiene un gas que se comporta como gas ideal. Insertamos un termómetro en cada caja y vemos que el gas de la caja A está a 50ªC, mientras que el de la caja B está a 10ªC. Esto es todo lo que sabemos acerca del gas contenido en las cajas. ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes deben ser verdad? ¿Cuáles podrían ser verdad?

A) La presión en A es mayor que en B.

como no se conoce la n para cada caja la presion podria ser mayor

b) Hay más moléculas en A que en B.

no conocemos cómo se comparan las presiones su número de moles podría ser más grande.

c) A y B no pueden contener el mismo tipo de gas.

no se conocen las masas de los gases por lo tanto podrían contener un mismo gas o diferente.

d) Las moléculas en A tiene en promedio más energía cinética por molécula que las de B.

es verdadera la afirmación.

e) Las moléculas en A se mueven con mayor rapidez que las de B.

No conocemos nada acerca de las masas de los atomos del gas en cada caja, así que las moléculas podrían tener una mayor velocidad media cuadrática

18.41 a) Calcule la capacidad calorífica específica a volumen constante del vapor de agua (M=18 g/mol), suponiendo que la molécula triatómica no lineal tiene tres grados de libertad traslacionales y dos grados rotacionales y que el movimiento vibracional no contribuye. b) La capacidad calorífica real del vapor de agua a baja presión es de cerca de 2000 J/Kg ªK. Compare esto con su cálculo y comente el papel real del movimiento vibracional.

Como posee 6 grados de libertad la capacidad de calor a volumen constante seria:

3R=24.9J/mol*K

CV=3R/M=(24.9J/mol*K)/0.018Kg/mol=1383.33j*Kg*K

Las vibraciones contribuyen a que haya una mayor capacidad calorífica

18.45 Para nitrógeno gaseoso (M=28 g/mol), ¿Cuál deberá ser la temperatura si la rapidez del 94.7% de las moléculas es menor:

a) 1500 m/s;

986 K

b) 1000 m/s;

438K

c) 500 m/s?

109.5K

TERCERA UNIDAD

En el ecuador, cerca de la superficie de la Tierra el campo magnético es aproximadamente de 50.0 µT con dirección norte y el campo electico es cercano a 100 N/C hacia abajo en clima favorable. Encuentre las fuerzas gravitacional eléctrica y magnética sobre un electrón que se mueven a una velocidad instantánea de 6.00 x 106 m/s en dirección este en dicho ambiente.Fuerza gravitacional:

Fg = mg = (9.11 x 10-31 kg) (9.80 m/s2) = 8.93 x 10-30 N (abajo)

Fuerza eléctrica:Fe = qE = (-1.60 x 10-19 C) (100 N/C) abajo = 1.60 x 10-17 N arriba

Fuerza magnética:FB = qv x B = (-1.60 x 10-19 C) (6.00 x 106 m/s (E)) x (50.0 x 10-6 (N·s/C·m)(N))

FB= -4.80 x 10-7 N arriba= 4.80 x 10-17 N abajo

Un alambre conduce una corriente estable de 2.40 A. Una sección recta del alambre mide 0.750 m de largo y se encuentra a lo largo del eje x dentro de un campo magnético uniforme de magnitud B= 1.60 T en la dirección z positiva. Si la corriente esta en la dirección +x, ¿Cuál es la fuerza magnética sobre la sección de alambre?

FB = IL x B = (2.40 A) (0.750 m)i x (1.60 T)

k = (-2.88 j)N

Una corriente de 17.0 mA se mantiene en una espira de circuito individual de 2.00 m de circunferencia. Un campo magnético de 0.800 T se dirige paralelo al plano de la espira.a) Calcule el momento magnético de la espira.

2pr = 2.00 mr = 0.318 mµ = IA = (17.0 x 10-3 A) [p(0.318)2 m2] = 5.41 mA·m2b)

¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre la espira por el campo magnético?

τ = µ x Bτ = (5.41 x 10-3 A·m2) (0.800 T) = 4.33 mN·m

Una espira rectangular consta de N = 100 vueltas enrolladas muy próximas entre si tiene dimensiones a = 0.400 m y b= 0.300 m. La espira se articula a lo largo del eje y, y su plano forma un ángulo Ѳ = 30.0° con el eje x. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre la espira por un campo magnetico uniforme B = 0.800 T dirigido a lo largo del eje x cuando la corriente es I = 1.20 A en la dirección indicada? ¿Cuál es la dirección esperada de rotación de la espira?.Un alambre de 40.0 cm de largo conduce una corriente de 20.0 A. Se dobla en una espira y se coloca con su normal perpendicular a un campo magnético con una intensidad de 0.520 T.¿Cuál es el momento de torsión sobre la espira si se dobla en la forma de:

Para τ = µ x B = IA x B, la magnitud del torque es IAB sen 90°.

a) Un triangulo equilátero?La altitud es √(13.32 – 6.672) cm = 11.5 cmA = ½ (11.5 cm) (13.3 cm) = 7.70 x 10-3 m

2τ = (20.0 A) (7.70 x 10-3 m2) (0.520 N·s/C·m) = 80.1 mN·mb)

Un cuadrado?τ = (20.0 A) (10-2 m2) (0.520 T) = 0.104 N·mc)

Un circulo?r = 0.400 m/ 2p = 0.0637 mA = pr2 = 1.27 x 10-2 m2τ = (20.0 A) (1.27 x 10-2 m2) (0.520) = 0.132 N·md)

¿Cuál momento de torsión es más grande?El circular.

Un ion positivo con una sola carga tiene una masa de 3.20 x 10-26 kg. Después de que es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 833 V, el ion entra a un campo magnético de 0.920 T a lo largo de una dirección perpendicular a la dirección del campo. Calcule el radio de la trayectoria del ion en el campo.

½ mv2 = q(Δv)½ (3.20 x 10-26 kg)

v2 = (1.60 x 10-19 C) (833 V)

V = 91.3 km/sqVB sen Ѳ = mv2/rr = mv/qB sen 90° = ((3.20 x 10-26 kg) (9.13 x 104 m/s))/((1.60 x 10-19 C) (0.920 N·s/C·m)) = 1.98 cm

Una bobina rectangular de 50 vueltas y dimensiones de 5.00 cm x 10.0 cm se deja caer desde una posición donde B = 0 hasta una nueva posición donde B = 0.500 T y se dirige perpendicularmente al plano de la bobina. Calcule la magnitud de la fem promedio inducida en la bobina se el desplazamiento ocurre en 0.250 s.Є = ΔΦB/Δt = Δ(NBA)/Δt = 500 mVUna bobina circular de alambre de 25 vueltas tiene un diámetro de 1.00 m. La bobina se coloca con su eje a lo largo de la dirección del campo magnético de la Tierra de 50.0 µT, y luego, en 0.200 s, se gira 180°. ¿Cuál es la fem promedio generada en la bobina?

Є = - N(ΔBA Cos Ѳ/Δt) = - NBpr2 ((Cos Ѳf – Cos Ѳi)/(Δt))= -25.0 (50.0 x 10-6 T) p (0.500 m)2 ((Cos 180° - Cos 0)/(.200 s))

Є = + 9.82 mV

Un anillo de aluminio con un radio de 5.00 cm y una resistencia de 3.00 x 10-4 Ω se coloca sobre la parte superior de un largo solenoide con núcleo de aire, 1000 vueltas por metro y un radio de 3.00 cm. Suponga que la componente axial del campo producido por el solenoide sobre el área del extremo del solenoide es la mitad de intensa que en el centro del solenoide. Suponga que el solenoide produce un campo despreciable afuera de su área de sección transversal.

Є = (d(BA))/dt = 0.500 µ0nA (dI/dt) = 0.480 x 10-3 Va)

Si la corriente en el solenoide esta aumentando a razón de 270 A/s, ¿Cuál es la corriente inducida en el anillo?

Ianillo = Є/R = 4.80 x 10-4/3.00 x 10-4 = 1.60 Ab)

En el centro del anillo, ¿Cuál es el campo magnético producido por la corriente inducida en el anillo?

Banillo = µ0I/2ranillo = 20.1 µT

c) ¿Cuál es la dirección de este campo?Los puntos del campo están hacia abajo y están aumentado cuando Banillo es hacia arriba.Encuentre la corriente que atraviesa la sección PQ la cual tiene una longitud a = 65.0 cm. El circuito se localiza en un campo magnético cuya magnitud varia con el tiempo de acuerdo con la expresión B = (1.00 x 10-3 T/s)t. Suponga que la resistencia por longitud del alambre es 0.100 Ω/m.

Para un viaje a la izquierda alrededor del lazo izquierdo con B = At.d/dt (At(2a2) Cos 0) – I1(5R) – IPQR = 0

y para el lazo derechod/dt (Ata2) + IPQR – I2 (3R) = 0

donde IPQ = I1 – I2 es la corriente ascendente QP.

Asi que: 2Aa2 – 5R (IPQ + I2) – IPQR = 0Y Aa2 + IPQR = I2 (3R)2Aa2 – 6RIPQ – [(5/3)(Aa2 + IPQR)] = 0IPQ = Aa2/23

R hacia arriba y entonces:R = (0.100 Ω/m)(0.650 m) = 0.0650 ΩIPQ = [(1.00 x 10-3 T/s)(0.50 m)2]/[23(0.0650 Ω)] = 283 µA hacia arriba.

Una bobina que se enrolla con 50 vueltas de alambre en la forma de un cuadrado se coloca en un campo magnético de modo que la normal al plano de la bobina forme un ángulo de 30° con la dirección del campo. Cuando el campo magnético se incrementa uniformemente de 200µT a 600µT en 0.400 s, una fem de 80.0 mV de magnitud se induce en la bobina. ¿Cuál es la longitud total de alambre?

Є = d/dt(NB12Cos Ѳ) = ((N12ΔB Cos Ѳ)/(Δt))1= √(ЄΔt/NΔBCosѲ)= √(((80.00 x 10-3 V)(0.400 s))/((50)(600 x 10-6 T – 200 x 10-6 T)(Cos 30°)))= 1.36 m

Longitude = 41N = 4(1.36 m)(50) = 275 m

Una bobina circular que encierra un área de 100 cm2 esta integrada por 200 vueltas de alambre de cobre. Al principio, un campo magnético uniforme de 1.10 T apunta perpendicularmente hacia arriba a través del plano de la bobina. La dirección del campo se invierte después. Durante el tiempo que el campo esta cambiando su dirección, ¿Cuánta carga fluye a través de la bobina si

R = 5.00 Ω?Є = - (N)(dΦB/dt)Idt = - (N/R)(dΦB)

Q = - (N/R)(ΔΦB) = - (N/R)A(Bf – Bi)

Q = - (200/5.00 Ω)(100 x 10-4)(-1.10 – 1.10)T = 0.880 C.

Una bobina rectangular con resistencia R tiene N vueltas, cada una de longitud ℓ y ancho ω. La bobina se mueve dentro de un campo magnético uniforme B a velocidad v. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre la bobina:

a) Cuando esta entra al campo magnéticoLa fuerza en el lado de la bobina que incorpora el campo (que consiste en los alambre de N) es:

F = N(ILB) = N(IwB)

El fem inducido en la bobina es:Є = N(dΦB/dt) = N(d(Bwv)/dt) = NBwv

Entonces la corriente esta I = (Є/R) = (NBwv/R) a la izquierda.

La fuerza en el lado izquierdo principal de la bobina es entonces:

F = N(NBwv/R)wB = (N2B2w2v/R) a la izquierda.

b) Cuando se mueve dentro del campoLa bobina esta una vez enteramente dentro del campo

ΦB = NBA = constante, entonces Є = 0, I = 0 y F = 0.

c) Cuando sale del campo?Mientras que la bobina comienza a salir del campo, el flujo disminuye a Bwv, así que la magnitud de la corriente es igual que en la parte (a), pero ahora los flujos de la corriente a la derecha.

Así, la fuerza ejercida en el lado que se arrastra de la bobina es:F = (N2B2w2v/R) a la izquierda.

Dos rieles paralelos que tienen resistencia despreciable están separados 10.0 cm y se conectan por medio de un resistor de 5.00 Ω. El circuito consiste también dos barras metálicas con resistencias de 10.0 Ω y 15.0 Ω que se deslizan a lo largo de los rieles. Las barras se alejan del resistor con rapidez constante de 4.00 m/s y 2.00 m/s, respectivamente. Se aplica un campo magnético uniforme, de 0.010 0 T de magnitud, perpendicular al plano de los rieles. Determine la corriente en el resistor de 5.00 Ω.

Lazo izquierdo: + Bdv2 – I2R2 = 0

Lazo derecho: + Bdv3 – I3R3+ I1R1 =En la ensambladura:

I2 = I1 + I3Entonces, Bdv2 – I1R2 – I3R2 – I1R1 = 0I3 = (Bdv3/R3) + (I1R1/R3)

Por lo tanto Bdv2 – I1(R1 + R2) – (Bdv3R2/R3) – (I1R1R2/R3) = 0

I1 = Bd[(v2R3 – v3R2)/(R1R2 + R1R3 + R2R3)] hacia arriba

I1 = (0.0100 T)(0.100 m) [{(4.00 m/s)(15.0 Ω) – (2.00 m/s)(10.0 Ω)}/{(5.00 Ω)(10.0 Ω) + (5.00 Ω)(15.0 Ω) + (10.0 Ω)(15.0 Ω)}] = 145 µA hacia arriba.

Una bobina de 0.100 m2 de área esta girando a 60.0 rev/s con el eje de rotación perpendicular a un campo magnético de 0.200 T.a) Si hay 1000 vueltas en la bobina, ¿Cuál es el máximo voltaje inducido en el?

Єmax = NABw = (1000)(0.100)(0.200)(120p) = 754 kV.

b) Cuando el máximo voltaje inducido ocurre, ¿Cuál es la orientación de la bobina respecto del campo magnético?

Є(t) = - NBAw · Senwt = - NBA Sen Ѳ

Є es máximo cuando Sen Ѳ = 1, Ѳ = +- (p/2)

El plano de la bobina es tan paralelo a B.Un largo solenoide, cuyo eje coincide con el eje x, consta de 200 vueltas por metro de alambre que conduce una corriente estable de 15.0 A. Se forma una bobina enrollando 30 vueltas de alambre delgado alrededor de un armazón circular que tiene un radio de 8.00 cm. La bobina se pone dentro del solenoide y se monta sobre un eje que esta a un diámetro de la bobina se hace girar con una rapidez angular de 4.00p rad/s. (El plano de la bobina esta en el plano yz en t = 0.) Determine la fem desarrollada en la bobina como función del tiempo.

B = µ0nI = (4p x 10-7 T · m/A)(200 m-1)(15.0 A) = .77 x 10-3 T

Para la pequeña bobina ΦB = NB · A = NBA Cos wt = NB(pr2) Cos wtAsí,

Є = - (dΦB/dt) = NBpr2w Sen wtЄ = (30.0)(3.7 x 10-3 T)p(0.0800 m)2(4.00ps-1) Sen (4.00 pt) = (28.6 mV) Sen (4.00pt)

problemas termodinamica

1. ¿QUE PROPIEDADES DE LA MATERIA DEPENDEN DE LA TEMPERATURA?
Volumen, densidad y presión.

2. ¿A QUE SE LE LLAMA EQUILIBRIO TÉRMICO?
Se dice que los cuerpos en contacto térmico se encuentran en equilibrio térmico cuando no existe flujo de calor de uno hacia el otro.

3. ¿QUE ES UN AISLANTE IDEAL?
Aislante hace referencia a cualquier material que impide la transmisión de la energía en cualquiera de sus formas: con masa que impide el transporte de energía.• el aislante acústico que aísla el sonido; • el aislante eléctrico que aísla la electricidad; • el aislador de microondas que aísla circuitos de microondas; • el aislante térmico, que aísla la temperatura. • el aislador de barrera, que aísla del medio ambiente procesos de laboratorios.

4. DIBUJAR UN SISTEMA QUE REPRESENTE LA LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA, INDICANDO EL EQUILIBRIO TÉRMICO

5. ¿CUANDO SE DICE QUE DOS SISTEMAS ESTÁN EN EQUILIBRIO TÉRMICO?
Cuando dos cuerpos se encuentran en equilibrio térmico, entonces estos cuerpos tienen la misma temperatura.

6. ¿PORQUE CUANDO UNA ENFERMERA TOMA LA TEMPERATURA DE UN PACIENTE ESPERA QUE LA LECTURA DEL TERMÓMETRO DEJE DE CAMBIAR?
Porque es hasta entonces cuando la temperatura se considera correcta. Al tomar la temperatura una enfermera espera que la lectura del termómetro deje de cambiar para lograr un equilibrio térmico entre el calor del cuerpo y el ambiente.

7. MENCIONAR TRES TIPOS DE DISPOSITIVOS QUE MIDEN LA TEMPERATURA
• Termómetro
• Termopar
• Pirómetro

8. ¿CUAL ES LA TEMPERATURA DE CONGELACIÓN DEL AGUA EN Fº?
32°F

9. CALCULAR LA TEMPERATURA Fº DEL PLANETA VENUS SI EN GRADOS Cº CORRESPONDE A
460 ºC. 860°F

10. ENCONTRAR LA TEMPERATURA EN LA QUE COINCIDEN LAS ESCALAS Fº Y Cº.
-40°

11. LA TEMPERATURA DE LA CORONA SOLAR ES DE 2 X107 ºC, Y LA TEMPERATURA A LA QUE EL HELIO SE LICUA A PRESION ESTANDAR ES DE 268.93 ºC.A) EXPRESAR ESTAS TEMPERATURAS EN KELVINB) EXPLICAR PORQUE SUELE USARSE LA ESCALA KELVIN

a) K=C+273K= (2 x 107 °C) + 273 =20000273 °KK= (268.93 °C) +273= 541.93 °K

b) La escala kelvin suele usarse solo para experimentos de temperatura de tipo científico. El kelvin es la unidad de temperatura de la escala creada por William Thompson en el año 1848, sobre la base del grado Celsius, estableciendo el punto cero en el cero absoluto (−273,15 °C) y conservando la misma dimensión. William Thompson, quien más tarde sería Lord Kelvin, a sus 24 años introdujo la escala de temperatura termodinámica, y la unidad fue nombrada en su honor.

12. DOS VASOS DE AGUA A, B ESTAN INICIALMENTE A LA MISMA TEMPERATURA. LA TEMPERATURA DEL AGUA DEL VASO SE AUMENTA 10 ºF Y LA DEL VASO B 10ºK, ¿CUAL VASO ESTÁ AHORA A MAYOR TEMPERATURA?
°C= °F – 32 / 1.8
°C = 10°F – 32 / 1.8
°C= -12.22 10° C
°C = k-273
°C = 10 °K – 273 = -263 °C

El vaso A sigue estando a mayor temperatura.

Pregunta 1
¿las trayectorias de los dos isotopos son las mismas o diferentes? la trayectoria que descirben acada una, se comporta de forma paralela con la otra, por lo tanto si siguen la misma trayectoria.

Pregunta 2
¿Qué pasa con el radio de la curvatura de la trayectoria si la magnitud del campo se duplica?
El radio se ve afectado ya que su radio decrece considerablemente.

Pregunta 3
¿Qué ocurre con el radio de la curvatura de la trayectoria si la magnitud de la velocidad se duplica? Al contrario del caso anterios, esta sufre de un aumento debido ala aceleraci que sufrio.

Pregunta 4
la relacion es F= qvB=mv/r
r= mv/qB

Pregunta 5
r= (1.66*10 a la -27 kg)12=1.99*10^26 kg
v=10000 m/s
q=1.60*10^-19 C
B=10*10^-3 T
sustituyendo en la formula,
r=mv/qB
por lo tranto,
R=0.124 m

PROBLEMA

una linea con carga uniforme tiene una carga en cada unidad de longitud de 4.8 * 10 a la -6/m. y yace a lo largo del eje de las x. una segunda linea con carga uniforme tiene una carga en cada unidad de longitud de -2.4 * 10 a la -6/m y es paralela al eje de las x en y = 0.4m

cual es el campo electrico neto (magnitud y direccion) en los puntos siguientes?

a) 0.2m:

F= (9x10 a la 9) (4.8x10 a la -6) (-2.4x10 a la -6)/0.04m2. 2.592N

E= 5.47 x10 a la 5 N/C +Y

b) 0.6m

=7.2 x 10 a la 5 N/C -Y

PROBLEMA 1

¿Cuantos electrones se deben agregar a un conductor esférico aislado de 32 cm de diámetro para producir un campo eléctrico de 1150 N/C, inmediatamente fuera de superficie?

e = ?

d = 0.16 m

E = 1150 N/c

K = 9*10 9 Nm2/c2

e= -1.6 * 10 -19 c

Q = Er2/K

1150 N/c/9 * 10 9 Nm2/c2 = 3.2711*10 a la -19 c/-1.6*10 a la -19c= 2.044*10 a la 10 electron

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO

Donde Q es la carga puntual que genera el campo eléctrico r, la distancia entre la carga que genera el campoy el punto (P)donde se quiere terminar la intensidad del campo. Si se supone que la prueba colocada en (P), se experimentara una fuerza dada por:

Se sabe que el valor del campo en P viene dado por:

Si la fuerza en la primera expresión se reemplaza por la segunda se obtiene:

La anterior formula sirve para calcular el campo eléctrico gnerado por la carga Q a una distancia r. Se observa que el campo depende de la carga que lo genera y de la distancia de la carga al punto donde se calcula

LEY DE COULOMB

La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Enunciado de la ley

La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello llamada fuerza electrostática.
En términos matemáticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distancia se expresa como:
Dadas dos cargas puntuales y separadas una distancia en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud esta dada por:
La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:

donde es un vector unitario que va en la dirección de la recta que une las cargas, siendo su sentido desde la carga que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta.
El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma , entonces .

Representación gráfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo.
Obsérvese que esto satisface la tercera de la ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actúan sobre y . La ley de Coulomb es una ecuación vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las cargas.

TAREA No 2

1.- Cambiar las coordenadas cilíndricas dadas a coordenadas rectangulares.
a) (5, π/2, 3)
x = r cos Ѳ
y = r sen Ѳ
z = z
x = 5 cos π/2 = 5 (0) = 0
y = 5 sen π/2 = 5
z = 3(0, 5, 3)

b) (6, π/3, -5)
x = 6 cos π/3 = 6 (1/2) = 3
y = 6 sen π/3 = 5.1961
z = -5(3, 5.1961, -5)

2.- Cambiar las coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.a)

(1, 1, √2)
ρ = √x² + y² + z²
ρ = √ (1)² + (1)² + (√2)² = 2tan-1
Ѳ = y/xtan-1
Ѳ = 1/1 = 1cos
Ѳ = z/√x² + y² + z²cos
Ѳ = √2/√(1)² + (1)² + (√2)² = √2/2
(2, 1, √2/2)

b) (1, √3, 0)

ρ = √(1)² + (√3)² + (0)² = 2tan-1
Ѳ = √3/1 = √3cos
Ѳ = 0/√(1)² + (√3)² + (0)² = 0
(2, √3, 0)

3.- Convertir las coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas.

a) (4, π/3, π/3)
x = ρ sen φ con Ѳ
x = 4 sen π/3 cos π/3 = 1.7320
y = ρ sen φ sen Ѳ
y =4 sen π/3 sen π/3 = 2.9999
z = ρ cos Ѳ
z = 4 (1/2) = 2

A cartesianas son (1.7320, 2.9999,2)

r = √x² + y²
r = √(4)² + (π/3)² = 4.13tan-1
Ѳ = y/xtan-1
Ѳ = (π/3)/4 = 0.2617
z = π/3(4.13, 0.2617, π/3)

4.- Describir la grafica de la ecuación en tres dimensiones.

b) ρ = 4 cos φρ² = 4 ρ cos φ
Como ρ² = x² + y² + z² y ρ cos φ = z
Sustituimos las equivalencias:x² + y² + z² = 4z
Agrupamos términos semejantes:x² + y² + z² - 4z =
0C. T. C. P
con zx² + y² + z² - 4z = 0x² + y² + z² - 4z + (2)² = (2)²x² + y² + z² - 4z + 4 = 4
Factorizar:x² + y² + (z – 2)² = 4

REPASO

Si:

m= (2, -1, 3)
v= (0, 1, 7)
w= (1, 4, 5)

a) m x (v x w)

v x w = ((1) (5)-(7)(4)) i - ((0)(5)) - (1)(7)) j + ((0)(4) - (1)(1)) k=

v x w = -23 i + 7 j - 1 k

m x (v x w) = ((-1)(-1) - (7)(3)) i - ((2)(-1) - (-23)(3)) j + ((0)(7) - (-23)(-1)) k

m x (v x w) = 20 i - 6+7 j - 9 k

= - 56

b) (m x v) x w

m x v = ((-1)(7) - (1)(3)) i - ((2)(7) - (0)(3)) j + ((2)(1) - (0)(1)) k =

m x v = - 10 i - 14 j + 2 k

(m x v) x w = ((-4)(5) - (4)(2)) i - ((-10)(5) - (1)(2)) j + ((-10)(4= - (1)(-9)) k

(m x v) x w = - 28 i +52 j -36 k

= - 12

c) (m x v) - 2 w

= ((-4)(-10) - (-8)(2)) i - ((-10)(-10) - (2)(2)) j + ((-10)(-8) - (-2)(-4))
= 56 i - 104 j + 72 k
= 24

COORDENADAS CILINDRICAS

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:

• ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
• φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.
• z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

COORDENADAS ESFERICAS

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimuth φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

CALCULO VECTORIAL

Consta de asignar un escalar en el espacio y un vector, es decir se llaman magnitudes escalares aquellas enque solo influyen en su tamaño mientras las magnitudes vectoriales son aquellas en las que influyen la direccion y el sentido en que se aplican.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

• Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.

• Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo (seudo)vectorial.

• Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

• Laplaciano

SISTEMA COORDINADO Y CALCULO VECTORIAL

El sistema coordenado se define por dos o tres octantes igualmente escalados dependiendo de si en un sistema dibimensional o tridimensional. se dibujan las perpendiculares P I, P M y PN que van desde P a los planos y, z, xy, zx.

Para hayar la distancia de P hacia el origen construir el paralelogramo oara que tenga como lado PL, PM y PV.