TAREA No 2

1.- Cambiar las coordenadas cilíndricas dadas a coordenadas rectangulares.
a) (5, π/2, 3)
x = r cos Ѳ
y = r sen Ѳ
z = z
x = 5 cos π/2 = 5 (0) = 0
y = 5 sen π/2 = 5
z = 3(0, 5, 3)

b) (6, π/3, -5)
x = 6 cos π/3 = 6 (1/2) = 3
y = 6 sen π/3 = 5.1961
z = -5(3, 5.1961, -5)

2.- Cambiar las coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.a)

(1, 1, √2)
ρ = √x² + y² + z²
ρ = √ (1)² + (1)² + (√2)² = 2tan-1
Ѳ = y/xtan-1
Ѳ = 1/1 = 1cos
Ѳ = z/√x² + y² + z²cos
Ѳ = √2/√(1)² + (1)² + (√2)² = √2/2
(2, 1, √2/2)

b) (1, √3, 0)

ρ = √(1)² + (√3)² + (0)² = 2tan-1
Ѳ = √3/1 = √3cos
Ѳ = 0/√(1)² + (√3)² + (0)² = 0
(2, √3, 0)

3.- Convertir las coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas.

a) (4, π/3, π/3)
x = ρ sen φ con Ѳ
x = 4 sen π/3 cos π/3 = 1.7320
y = ρ sen φ sen Ѳ
y =4 sen π/3 sen π/3 = 2.9999
z = ρ cos Ѳ
z = 4 (1/2) = 2

A cartesianas son (1.7320, 2.9999,2)

r = √x² + y²
r = √(4)² + (π/3)² = 4.13tan-1
Ѳ = y/xtan-1
Ѳ = (π/3)/4 = 0.2617
z = π/3(4.13, 0.2617, π/3)

4.- Describir la grafica de la ecuación en tres dimensiones.

b) ρ = 4 cos φρ² = 4 ρ cos φ
Como ρ² = x² + y² + z² y ρ cos φ = z
Sustituimos las equivalencias:x² + y² + z² = 4z
Agrupamos términos semejantes:x² + y² + z² - 4z =
0C. T. C. P
con zx² + y² + z² - 4z = 0x² + y² + z² - 4z + (2)² = (2)²x² + y² + z² - 4z + 4 = 4
Factorizar:x² + y² + (z – 2)² = 4

REPASO

Si:

m= (2, -1, 3)
v= (0, 1, 7)
w= (1, 4, 5)

a) m x (v x w)

v x w = ((1) (5)-(7)(4)) i - ((0)(5)) - (1)(7)) j + ((0)(4) - (1)(1)) k=

v x w = -23 i + 7 j - 1 k

m x (v x w) = ((-1)(-1) - (7)(3)) i - ((2)(-1) - (-23)(3)) j + ((0)(7) - (-23)(-1)) k

m x (v x w) = 20 i - 6+7 j - 9 k

= - 56

b) (m x v) x w

m x v = ((-1)(7) - (1)(3)) i - ((2)(7) - (0)(3)) j + ((2)(1) - (0)(1)) k =

m x v = - 10 i - 14 j + 2 k

(m x v) x w = ((-4)(5) - (4)(2)) i - ((-10)(5) - (1)(2)) j + ((-10)(4= - (1)(-9)) k

(m x v) x w = - 28 i +52 j -36 k

= - 12

c) (m x v) - 2 w

= ((-4)(-10) - (-8)(2)) i - ((-10)(-10) - (2)(2)) j + ((-10)(-8) - (-2)(-4))
= 56 i - 104 j + 72 k
= 24

COORDENADAS CILINDRICAS

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:

• ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
• φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.
• z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

COORDENADAS ESFERICAS

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimuth φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

CALCULO VECTORIAL

Consta de asignar un escalar en el espacio y un vector, es decir se llaman magnitudes escalares aquellas enque solo influyen en su tamaño mientras las magnitudes vectoriales son aquellas en las que influyen la direccion y el sentido en que se aplican.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

• Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.

• Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo (seudo)vectorial.

• Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

• Laplaciano

SISTEMA COORDINADO Y CALCULO VECTORIAL

El sistema coordenado se define por dos o tres octantes igualmente escalados dependiendo de si en un sistema dibimensional o tridimensional. se dibujan las perpendiculares P I, P M y PN que van desde P a los planos y, z, xy, zx.

Para hayar la distancia de P hacia el origen construir el paralelogramo oara que tenga como lado PL, PM y PV.